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Osserviamo che la luce, attraversando mezzi trasparenti, viene rifratta. Tale fenomeno sarà interpretato per mezzo della teoria ondulatoria e corpuscolare e permetterà di studiare il comportamento della luce nelle lenti.
Consideriamo un raggio luminoso che viaggia attraverso un mezzo trasparente, ad esempio l'aria. Se sul suo cammino incontra un nuovo mezzo trasparente, ad esempio acqua o vetro, nel passaggio dall'uno all'altro mezzo il raggio subisce una deviazione abbastanza netta. Si dice in tal caso che il raggio viene rifratto.
La rifrazione è la causa di numerosi fenomeni visivi facilmente osservabili. |
Ad esempio se immergiamo una sbarretta in un bicchiere pieno d'acqua, avremo l'impressione che essa sia spezzata, poichè la parte immersa non appare allineata con la parte fuori dall'acqua; oppure collocando una monetina in una bacinella non trasparente e ponendosi in modo che il bordo del recipiente impedisca di scorgere la moneta, si osserva che riempendo d'acqua la bacinella, si vedrà ricomparire la monetina. Ciò accade perchè in presenza dell'acqua i raggi luminosi seguono una traiettoria "spezzata" che consente di aggirare l'ostacolo costituito dal bordo.
Le leggi sperimentali che regolano la rifrazione furono date per la prima volta da Cartesio e da Snellius.
Il raggio luminoso, prima di incontrare la superficie di separazione dei due mezzi trasparenti, viene detto raggio incidente; dopo la rifrazione raggio rifratto.
L'angolo di incidenza è quello formato dal raggio incidente con la normale alla superficie di separazione; l'angolo di rifrazione è invece quello formato con la stessa normale dal raggio rifratto.
La prima osservazione che si può fare è la seguente:
il raggio incidente, quello rifratto e la normale giacciono su di uno stesso piano |
Inoltre sussiste la seguente relazione: se 
sono rispettivamente
gli angoli di incidenza e di rifrazione, si osserva che:
(1.1) 
La (1.1) trova una spiegazione differente a seconda che si consideri valida la teoria corpuscolare o quella ondulatoria.
Vediamo come la teoria corpuscolare spiega il fenomeno di rifrazione:
Newton suppose che la variazione dell'angolo subita dal raggio a causa della
rifrazione fosse dovuta ad una variazione di velocità delle particelle
luminose che si determina nel passaggio dall'uno all'altro mezzo, e portava
la seguente analogia: se una sferetta rotola su un piano inclinato con una
traiettoria inclinata di un angolo 
rispetto alla normale
al bordo del piano, tale angolo può essere ridotto se la sferetta
subisce un aumento repentino di velocità, ad esempio a causa di un
dislivello sul piano stesso (fig. (1.2)).
Riferendo l'analogia alla rifrazione, il piano inclinato a corrisponde al primo mezzo; il piano inclinato b, al secondo. La superficie di separazione corrisponde invece al dislivello fra i due piani a, b.
Se quindi un raggio luminoso arriva a contatto della superfie con velocità
, secondo l'idea di Newton, le particelle di luce sono sottoposte
ad una forza perpendicolare alla superficie di separazione, per effetto
della quale la componente perpendicolare della velocità varia, mentre
rimane inalterata la componente parallela.
Se 
è tale componente parallela, e 
è la stessa
componente relativa alla velocità del raggio rifratto, varrà:
(1.2) 
Ma come sappiamo, si ha
(1.3) 
e quindi risulta:
(1.4) 
Diciamo che il mezzo 2 è più rifrangente del mezzo 1 se l'angolo di incidenza è maggiore di quello di rifrazione quando un raggio luminoso passa dal mezzo 1 al mezzo 2.
Se allora conduciamo il nostro esperimento scegliendo, ad esempio, i mezzi aria e vetro, oppure aria ed acqua (l'acqua e il vetro sono più rifrangenti dell'aria), si avrà:
per cui dalla teoria corpuscolare si ricava che
la velocità della luce è maggiore nei mezzi più rifrangenti. |
Vediamo come la teoria corpuscolare spiega invece il fenomeno della rifrazione.
Costruiamo, quindi, il raggio rifratto con il metodo dell'inviluppo piano già introdotto precedentemente.
Siano A,B due punti qualsiasi del fronte d'onda. Se la direzione di propagazione
del fronte è inclinata di un angolo 
rispetto alla
normale alla superfice, o il punto A o il punto B giungerà prima
dell'altro a contatto della superfice. Assumiamo che sia A tale punto. Dal
momento in cui l'onda in A viene rifratta, il punto B giungerà sulla
superfice dopo un tempo 
, cioè dopo aver percorso
un segmento di lunghezza pari a 
.
Nello stesso intervallo di tempo, il punto A si sarà spostato
di un segmento pari a 
, che non è uguale a 
, poichè si suppone che 
Allora, come è mostrato in figura (1.5), l'inviluppo dopo il tempo
avrà cambiato direzione di propagazione, e quindi,
se l è la lunghezza del segmento A'B,
(1.5) 
da cui:
(1.6) 
Risulta pertanto dalla teoria ondulatoria una legge inversa da quella ricavata nella teoria corpuscolare, cioè:
e quindi la velocità della luce è maggiore
nei mezzi meno rifrangenti.
Questo fatto costituì la chiave di volta che permise di stabilire definitivamente quale delle due teorie era valida: poichè l'acqua risulta più rifrangente dell'aria, bastava misurare la velocità della luce nei due mezzi.
Tale prova venne realizzata intorno al 1860 da Foucault utilizzando la
tecnica dello specchio girevole e fornì un risultato che diede ragione
alla teoria ondulatoria: la luce si propaga nell'acqua con la velocità
di 
, uguale a circa 3/4 del valore con cui si propaga nell'aria.
Il rapporto:
viene indicato solitamente con 
e si chiama indice
di rifrazione relativo ai mezzi 1 e 2, quando la luce passa dal mezzo
1 al mezzo 2. Per le osservazioni precedenti possiamo dire che se 
il mezzo 1 è meno rifrangente del mezzo 2; viceversa se
Osserviamo che anche nel caso della rifrazione vale il principio della reversibilità del cammino luminoso. Questo ci permette di dedurre la relazione
Si chiama indice di rifrazione assoluto l'indice calcolato rispetto al vuoto. Per la (1.6) possiamo esprimere l'indice di rifrazione come il rapporto fra la velocità della luce nei due mezzi, cioè:
da questo, l'indice di rifrazione assoluto sarà:
Se consideriamo due mezzi il cui indice di rifrazione assoluto è
rispettivamente 
si ottiene facilmente:
(2.1) 
relazione che lega l'indice di rifrazione relativo con gli indici di rifrazione assoluto dei due mezzi. Nella tabella abbiamo gli indici di rifrazione assoluto per alcuni mezzi.
| MEZZO | INDICE |
| Aria | 1,000294 |
| Idrogeno | 1,000139 |
| Ossigeno | 1,000272 |
| Acqua | 1,33 |
| Alcol etilico | 1,36 |
| NaCl | 1,53 |
| Vetro Flint | 1,579 |
| Vetro Crown | 1,516 |
| Diamante | 2,419 |
| Zaffiro | 1,76 |
| Glicerina | 1,474 |
| Olio di cedro | 1,515 |
| Quarzo | 1,544 |
| Quarzo fuso | 1,46 |
| Etere | 1,352 |
Se consideriamo un raggio che passa da un mezzo più rifrangente ad uno meno rifrangente, si potrà considerare un particolare valore dell'angolo di incidenza per il quale il raggio rifratto risulta parallelo e radente alla superficie di separazione (fig. (3.1)).
Se 
è tale valore, per un angolo di incidenza maggiore
di 
, non si avrà la formazione di nessun raggio rifratto,
ma il raggio verrà deviato totalmente all'interno del mezzo più
rifrangente, dando luogo al fenomeno della cosiddetta riflessione totale.
prende il nome di angolo limite.
Il fenomeno ora descritto trova numerose applicazioni, ad esempio nella costruzione delle fibre ottiche, che imprigionano la luce all'interno di esse facendole percorrere anche dei cammini curvi.
Un'altra applicazione è la costruzione dei periscopi, in cui viene utilizzata una doppia riflessione totale.
Dalla (2.1), poichè
si ricava anche
Se 
è uguale all'angolo limite, si ha
allora conoscendo gli indici di rifrazione assoluta dei mezzi, si può ottenere il valore dell'angolo limite dalla formula:
(3.1) 
La rifrazione è anche causa di numerosi fenomeni naturali, ad esempio il miraggio e la fata morgana. Entrambi sono dovuti alla diversa densità degli strati di aria, per cui quelli più densi risultano più rifrangenti rispetto a quelli meno densi.
Nelle giornate molto calde, l'aria vicina al suolo è molto più calda di quella che si trova negli strati superiori, e di conseguenza è più rarefatta. Se un raggio luminoso parte dalla cima di un albero diretto verso il basso, esso subisce una deviazione man mano che incontra gli strati meno rifrangenti, finchè l'inclinazione del raggio raggiunge e supera l'angolo limite, ed è diretto verso l'alto. Se il raggio, dopo questa traiettoria, incontra un osservatore, questi avrà l'impressione che esso ha compiuto un cammino in linea retta, per cui scorgerà l'albero e la sua immagine come se fosse riflessa in uno specchio d'acqua. Si ha in tal caso il miraggio.
Viceversa se le condizioni atmosferiche sono tali che l'aria più rarefatta è in superfice, un raggio diretto verso l'alto può venire rifratto fino ad essere deviato verso il basso. In tal caso l'oggetto può apparire sollevato dal suolo.
Tale fenomeno si verifica in modo evidente sullo stretto di Messina: la costa siciliana in particolari condizioni può apparire sospesa nell'aria. Si ha in tal caso il fenomeno detto fata morgana.
Chiameremo lente un qualsiasi corpo trasparente limitato da due superfici curve o da una superficie piana ed una curva, in grado di modificare la traiettoria di un raggio luminoso che la attraversi.
Le lenti si distinguono in convergenti, riconoscibili per una forma più spessa al centro e più sottile ai bordi, oppure divergenti, di forma più spessa ai bordi e più sottile al centro.
A loro volta le lenti convergenti si suddividono in biconvesse, piano-convesse e menisco-convesse (fig. (4.1));
e quelle divergenti in biconcave, piano-concave e menisco-concave (fig. (4.2)).
Chiamiamo: raggi di curvatura di una lente i raggi delle sfere cui le calotte che costituiscono la lente appartengono. L'asse che congiunge i centri di tali sfere è detto asse principale. Il punto in cui l'asse ottico incontra la lente è detto invece centro ottico. Ogni retta per il centro ottico è detta asse secondario.
Cominciamo ad analizzare gli effetti che una lente convergente produce sui raggi luminosi.
Consideriamo un fascio di raggi paralleli all'asse principale. Si sperimenta facilmente che tutti i raggi vengono rifratti in modo da occorrere in un unico punto detto FUOCO della lente.
Ogni lente ovviamente possiede due fuochi simmetrici, posti dall'una e dall'altra parte della lente, poichè l'effetto prodotto dalla lente è indipendente dalla faccia impressionata dalla luce. Lo stesso si osserva per un qualsiasi altro asse, per il quale si determina un fuoco secondario F', che contribuisce a formare il piano focale della lente.
Per costruire geometricamente l'immagine prodotta da una len\-te è sufficiente tenere presente che:
1) Il raggio passante per il centro ottico attraversa la lente senza essere deviato.
2) Un raggio parallelo all'asse principale viene deviato sul fuoco della lente.
3) Un raggio che passa per il fuoco è deviato parallelamente all'asse principale.
A differenza degli specchi sferici, il fuoco di una lente non può essere determinato mediante costruzioni puramente geometriche, poichè la rifrazione dipende dal materiale che costituisce la lente.
Se consideriamo una sorgente luminosa puntiforme posta davanti ad una lente, notiamo che tutti i raggi provenienti da tale sorgente vengono rifratti in modo da intersecarsi in un altro punto, che sarà il punto coniugato del punto oggetto in questione.
Possiamo allora affermare che
una lente convergente di piccola apertura e di piccolo spessore trasforma un fascio omocentrico di raggi di vertice S in un altro fascio omocentrico di vertice S'; S ed S' sono punti coniugati. |
E andiamo ora ad analizzare il tipo di immagine prodotta da una lente convergente quando si considera un oggetto esteso, che graficamente rappresentiamo mediante una freccetta.
L'immagine dipenderà dalla distanza dell'oggetto dalla lente.
Indichiamo con 
i due fuochi principali della lente e con C il centro
ottico.
Situazione 1: Oggetto distante dalla lente più del doppio della distanza focale
L'immagine è capovolta, rimpicciolita e posta dall'altra parte
della lente tra 
.
Situazione 2: L'oggetto è ad una distanza doppia di quella focale.
L'immagine è capovolta ma delle stesse dimensioni dell'oggetto,
posta in 
.
Situazione 3: L'oggetto è fra 
L'immagine è capovolta, ingrandita e ad una distanza maggiore del doppio di quella focale.
Situazione 4: Oggetto posto nel fuoco della lente.
L'immagine appare all'infinito, ingrandita al massimo e capovolta.
Situazione 5: Oggetto posto tra il fuoco e la lente.
L'immagine stavolta è virtuale; compare dalla stessa parte dell'oggetto, diritta e ingrandita rispetto ad esso.
Dato un punto oggetto A, la sua immagine B sarà il punto in cui occorrono tutti i raggi provenienti da A. In particolare per determinare la posizione del punto coniugato nota quella del punto oggetto, è sufficiente disegnare la traiettoria di due raggi. Il problema è ulteriormente semplificato se l'oggetto è sull'asse principale. In tal caso sappiamo che un raggio che coincide con tale asse attraversa la lente senza subire deviazioni. Basta allora esaminare un solo raggio e vedere in quale punto esso, rifratto (o il suo prolungamento), interseca l'asse principale.
Discorso analogo vale per oggetti estesi. In tal caso la costruzione dovrebbe essere ripetuta per tutti i punti.
Consideriamo un segmento di estremi X,Y posto davanti ad una lente convergente. Se esso è posto prima del fuoco della lente, avrà un' immagine costituita dal segmento X', Y' come in figura (4.2.1).
Per costruzione, i triangoli XYC e X'Y'C sono simili; pertanto si ricava:
(4.2.1) 
Se poniamo le distanze XC e CX' pari rispettivamente a p e a q, la (4.2.1) si scrive:
(4.2.2) 
Sono inoltre simili i triangoli 
e 
.
Da ciò possiamo ricavare:
(4.2.3) 
dove f è la distanza focale.
Ovviamente si ha XY =AC, per cui la (4.2.3) è analoga alla
(4.2.4) 
e confrontando la (4.2.2) e la (4.2.4) otteniamo
quindi
(4.2.5) 
e dividendo ogni termine per pqf
(4.2.6) 
Come si vede, la (4.2.6) è analoga alla formula dedotta per gli specchi sferici.
Abbiamo ricavato inoltre la formula per l' ingrandimento trasversale, definito dal rapporto fra la lunghezza dell'oggetto e quella della sua immagine. La (4.2.4) infatti fornisce:
Si può anche ricavare dalla (4.2.5):
(4.2.7) 
per cui si ha:
(4.2.8) 
La principale differenza di una lente divergente rispetto ad una convergente è costituita dal fatto che se consideriamo un fascio di raggi paralleli all'asse principale della lente, essi verranno rifratti non in modo da intersecarsi in un punto, ma in modo da "divergere" senza mai intersecarsi.
Se però consideriamo i prolungamenti dei raggi rifratti, essi occorrono in un punto sull'asse principale.
Dunque il fuoco di una lente divergente è un punto virtuale, nel senso che è determinato non direttamente dai raggi rifratti, ma dai loro prolungamenti.
Poichè discorso analogo si può riferire ad un qualsiasi altro asse che non sia quello principale, diremo che il piano focale di una lente divergente è di tipo virtuale e sarà definito come il piano nel quale si forma l'immagine virtuale di un oggetto posto all'infinito.
La formazione delle immagini mediante le lenti divergenti si ottiene utilizzando i metodi già visti in precedenza.
Per quanto osservato avremo che qualunque sia la posizione dell'oggetto rispetto alla lente, la sua immagine è sempre virtuale, diritta e rimpicciolita, posta dalla stessa parte dell'oggetto.
Anche per le lenti divergenti valgono le formule dei punti coniugati prima ricavate: si ottengono in modo analogo purchè si consideri negativa la distanza focale f della lente.