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La natura ed il comportamento della luce ci consentono di interpretare alcuni fenomeni tramite i raggi luminosi, ognuno dei quali si può pensare come un segmento di retta che ha la direzione di propagazione del fronte d'onda.
Tale modello, noto come "ottica geometrica", fu introdotto da Keplero e costituisce una buona approssimazione della realtà ed è di estrema utilità nello studio dei fenomeni di riflessione e rifrazione, nonchè degli effetti prodotti dai vari tipi di specchi (piani, concavi e convessi) e dalle lenti.
Abbiamo già utilizzato questo modello nella spiegazione del fenomeno della formazione delle ombre. Ovviamente i fenomeni interpretati mediante l'ottica geometrica possono essere spiegati anche con la teoria ondulatoria della luce sebbene con maggiore difficoltà nell'effettuare i calcoli.
Si consideri una sorgente luminosa che emette un raggio di luce; se esso viene proiettato su una superficie molto ben levigata, ritorna indietro come se fra il raggio e la superficie fosse avvenuto un urto elastico.
Il fenomeno descritto è la riflessione della luce ed è facilmente osservabile munendosi semplicemente di una lampadina e di uno specchio. Il raggio che parte dalla sorgente luminosa viene detto raggio incidente. Quello che esce dalla superficie riflettente si chiama raggio riflesso. L'angolo che forma il raggio riflesso con la normale alla superficie è l' angolo di riflessione.
La riflessione della luce verifica la seguente legge sperimentale, nota sotto il nome di Legge di Snellius-Cartesio:
i) Il raggio incidente, la normale alla superficie riflettente nel punto di incidenza ed il raggio riflesso giacciono sullo stesso piano; ii) L'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione. |
Se la luce viene proiettata su una superficie non levigata, assistiamo al fenomeno della diffusione. La superficie scabra su cui si proietta il fascio luminoso può essere approssimata microscopicamente con una spezzata composta da tanti segmentini ognuno piano.
I raggi, colpendo i segmentini, vengono riflessi secondo le leggi della riflessione, ma globalmente il fascio non viene deviato uniformemente ma diffuso in tante direzioni (fig. (1.2)).
Se poniamo un oggetto di fronte ad uno specchio, osserviamo facilmente che la sua immagine viene riprodotta in una regione di spazio che sembra trovarsi all'interno dello specchio. Noi infatti normalmente abbiamo la visione di un oggetto grazie ai raggi che partendo da esso giungono in linea retta fino ai nostri occhi. Nel caso dello specchio i raggi giungono a noi dopo aver subito una riflessione, però noi percepiamo l'immagine ugualmente come se i raggi avessero viaggiato in linea retta, cioè come se l'oggetto si trovasse dall'altra parte della superficie. Tale immagine viene detta Immagine virtuale dell'oggetto.
Una superficie riflettente a forma di calotta sferica sarà da noi chiamato specchio sferico |
Se la superficie riflettente è interna alla calotta, parleremo di specchio concavo; se è esterna, di specchio convesso. Analizzeremo dapprima il comportamento dei raggi luminosi nei confronti degli specchi concavi.
Le leggi che regolano la riflessione valgono ovviamente anche nel caso degli specchi sferici. Però le normali ai diversi punti degli specchi sono disposte radialmente e non parallelamente come negli specchi piani. Questo significa che raggi paralleli che colpiscono lo specchio in due punti diversi avranno un angolo di riflessione diverso. Ciò ha come conseguenza una deformazione delle immagini riflesse dallo specchio. Tale deformazione dipenderà dalla posizione relativa dell'oggetto rispetto allo specchio.
Il centro della sfera cui la calotta riflettente appartiene viene chiamato centro di curvatura. L'asse di simmetria della calotta che passa per il centro di curvatura, si chiama asse ottico principale, mentre ogni altra retta per il centro di curvatura che incontra la superficie riflettente si chiama asse secondario (fig. (2.1.1)).
L'angolo di apertura è invece l'angolo compreso fra due rette che passano per il centro di curvatura e sono tangenti al bordo della calotta.
Fissato un punto della superficie, la normale ad essa nel punto dato sarà la retta per il punto passante per il centro di curvatura; un raggio che parte dalla sorgente S posta ad esempio sull'asse ottico principale, sarà riflesso in modo che, rispetto alla normale relativa al punto, l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione (fig. (2.1.2)).
Il raggio incidente viene riflesso in modo da intersecare l'asse principale nel punto S'. Si osserva sperimentalmente che se poniamo la sorgente luminosa in S' e consideriamo un raggio che colpisce lo specchio nel medesimo punto A (fig. (2.1.2)), il raggio riflesso intersecherà in S l'asse principale; in altre parole
si può invertire il raggio incidente con il raggio riflesso lasciando inalterata la costruzione geometrica. Questo fenomeno costituisce il principio di reversibilità del cammino luminoso. I punti S ed S' che si individuano in questo modo costituiscono una coppia di punti coniugati. |
Da qui discende l'importante conseguenza:
Se poniamo una sorgente luminosa in S, tutti i raggi da essa uscenti saranno riflessi in modo da concorrere in S'. |
Consideriamo ora un fascio di raggi tutti paralleli all'asse principale. è facile osservare, mediante la costruzione geometrica vista, ed anche sperimentalmente, che essi sono riflessi in modo da intersecare l'asse principale nello stesso punto F che prende il nome di Fuoco (fig. (2.1.3)).
Se poniamo una sorgente luminosa nel fuoco di uno specchio concavo, poichè per il principio di reversibilità del cammino luminoso i raggi saranno riflessi tutti parallelamente all'asse principale, non potremo determinare per F alcun punto coniugato, a meno di considerare il punto all'infinito. Questa osservazione ci permette di definire il fuoco come il punto coniugato del punto all'infinito.
Il fuoco di uno specchio concavo viene a trovarsi, con buona approssimazione, a metà fra il centro c e la superficie riflettente. Cioè, se f è la distanza focale, ovvero la distanza del fuoco dallo specchio, si ha:
dove r è il raggio della sfera cui la calotta riflettente appartiene.
Il discorso fatto per un fascio di raggi parallelo all'asse principale, si può ripetere per un fascio parallelo ad un qualsiasi altro asse, cosicchè per ogni asse secondario si può determinare un fuoco secondario. L'insieme dei fuochi che si individuano in tal modo al variare degli assi, costituisce un piano, che si chiama piano focale. In analogia alla definizione che abbiamo dato del fuoco principale, diciamo che il piano focale di uno specchio concavo è il piano nel quale bisogna porre un oggetto luminoso per ottenere la sua immagine all'infinito (fig. (2.1.4)).
Se poniamo un punto luminoso davanti ad uno specchio concavo, la sua immagine sarà il punto in cui concorrono tutti i raggi riflessi dallo specchio. Chiamiamo "punto oggetto" la sorgente puntiforme e "punto immagine" il corrispondente punto coniugato. Per il principio di reversibilità del cammino luminoso, è possibile scambiare il punto immagine con il punto oggetto e viceversa. Abbiamo già avuto modo di verificare che se un punto oggetto è collocato ad una distanza maggiore di 2f dalla superficie speculare, la corrispondente immagine verrà a formarsi davanti allo specchio, in un punto reale, tanto da poter essere raccolta su di uno schermo (fig. (3.1)).
Inoltre abbiamo visto che se il punto oggetto è posto esattamente nel fuoco, tutti i raggi che partono da esso vengono riflessi parallelamente, per cui diciamo che il punto immagine è posto all'infinito. L'immagine riflessa potrà essere percepita solo se i raggi riflessi "intercettano" l'osservatore, ma non può essere raccolta su uno schermo.
Vediamo ora cosa succede se l'oggetto viene posto ad una distanza minore di quella focale. In tal caso i raggi riflessi sono divergenti. Come nel caso dell'oggetto posto nel fuoco, potrà essere osservata una immagine solo se l'osservatore si trova sulla traiettoria dei raggi. Inoltre stavolta, come accade per gli specchi piani, l'immagine appare al di là della superficie riflettente, poichè essa si determina come il punto di intersezione del prolungamento dei raggi riflessi. Diremo in tal caso che l'immagine è virtuale.
Se invece di considerare un singolo punto oggetto consideriamo un oggetto di dimensioni estese, per determinare la sua immagine si dovrebbe teoricamente costruire l'immagine di ogni punto che lo compone. In pratica l'immagine si può ottenere considerando solo alcuni raggi, il cui cammino risulta di facile determinazione.
Si considerano di solito i seguenti raggi:
1) quello parallelo all'asse principale, il cui raggio riflesso passa per il fuoco dello specchio;
2) quello che passa per il fuoco principale, che sarà riflesso parallelamente all'asse principale;
3) quello che passa per il centro, che in quanto coincidente con la normale, verrà riflesso su sè stesso.
Vediamo, utilizzando le figure (3.3) - (3.7), come può essere costruita l'immagine.
Il nostro oggetto sarà simboleggiato da una freccetta. Supponiamo per semplicità, che la sua base poggi sull'asse ottico principale. In tale situazione l'immagine riflessa si potrà ottenere una volta noto il punto immagine della punta della freccetta. Basterà da tale punto considerare la perpendicolare sull'asse ottico. Il segmento che l'asse taglia su questa perpendicolare costituirà l'immagine cercata del nostro oggetto.
Situazione 1: oggetto posto ad una distanza maggiore di 2f, pertanto oltre il centro.
L'oggetto appare rimpicciolito e capovolto, tra il fuoco ed il centro (fig. (3.3)).
Situazione 2: oggetto posto ad una distanza pari a 2f nel centro.
L'immagine ha le stesse dimensioni dell'oggetto, anch'essa nel centro ma capovolta (fig. (3.4)).
Situazione 3: oggetto tra il fuoco ed il centro.
L'immagine è capovolta ed ingrandita, posta ad una distanza maggiore di 2f (fig. (3.5)).
Situazione 4: oggetto nel piano focale.
L'immagine risulta ingrandita al massimo, all'infinito.
Situazione 5: oggetto tra lo specchio e il fuoco.
\fig{}
L'immagine è virtuale: appare al di là dello specchio, diritta e ingrandita.
Quanto descritto vale per specchi sferici che soddisfano approssimativamente le seguenti condizioni:
1) angolo di apertura piccolo, cioè la sfera che contiene la calotta speculare è molto estesa rispetto ad essa.
2) raggi parassiali, i raggi luminosi formano con l'asse ottico angoli molto piccoli.
Se tali condizioni, dette approssimazioni di Gauss, non sono rispettate, la formazione delle immagini avviene in modo meno nitido; ciò è dovuto al fatto che un fascio di raggi luminosi paralleli all'asse ottico principale, non concorrerà esattamente nel fuoco, ma in una regione più ampia che viene chiamata superficie caustica.
Vediamo ora di dare una interpretazione teorica dei fenomeni descritti precedentemente. Studiamo le relazioni fra due punti coniugati, tenendo conto delle approssimazioni di Gauss.
\fig{}
Come abbiamo visto, un punto oggetto S posto dinanzi ad uno specchio concavo avrà una immagine S' determinato dal punto di occorrenza di tutti i raggi che partono da S.
Se, per semplicità, il punto oggetto è collocato sull'asse principale il punto immagine si determina considerando un singolo raggio incidente e l'intersezione del raggio riflesso con l'asse ottico, poichè ogni raggio che coincide con un asse viene riflesso su sè stesso.
Sia SA il raggio incidente nel punto A della superficie speculare e AS' il segmento del raggio riflesso tagliato dall'asse principale. Per le leggi della riflessione, se CA è il segmento normale allo specchio nel punto A, gli angoli SAC e CAS' sono uguali cioè
(4.1) SAC=CAS
Come sappiamo, la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. Applicando questa regola al triangolo SAS', se ne ricava:
(4.2) 
Poichè stiamo supponendo valide le approssimazioni di Gauss, esse ci consentono di utilizzare le seguenti espressioni approssimate:
(4.3) 
Sostituendo la (4.3) in (4.2) si ottiene:
(4.4) 
Poniamo ora la distanza VS pari a p e la distanza VS' pari a q. Da ciò ne segue
dove R è il raggio della sfera cui appartiene la calotta speculare.
Allora la (4.4) diventa:
(4.5) 
ovvero
(4.6) 
e dividendo ogni termine per pqR, rimane:
(4.7) 
ma come sappiamo la distanza focale f è pari a: f=R/2, per cui si può riscrivere la (4.7) come:
(4.8) 
Vediamo quali informazioni si possono ricavare dall'analisi di tale formula:
anzitutto otteniamo una conferma del principio di reversibilità del cammino luminoso, poichè la (4.8) risulta simmetrica rispetto a p e q, per cui
se poniamo il punto oggetto in S', la sua immagine verrà riprodotta in S. |
Inoltre al crescere del valore di p, il rapporto 1/p diventa sempre più piccolo, per cui se pensiamo p infinitamente grande, 1/p tenderà a zero. In tale situazione, la (4.8) assume la forma seguente:
e ciò giustifica l'asserto che avevamo ottenuto sperimentalmente secondo il quale
per ottenere il punto immagine nel fuoco dello specchio occorre collocare il punto oggetto ad una distanza infinita. |
Per converso, grazie al principio di reversibilità del cammino luminoso, un punto oggetto nel fuoco, produrrà una immagine "all'infinito". Partendo dalla (4.8) avremo
e dividendo per p sia il numeratore che il denominatore
(4.9) 
dalla quale possiamo determinare le informazioni sulla distanza q dell'immagine relativamente alla distanza p dell'oggetto.
Ad esempio se 
, la frazione f/p sarà minore
di 1 e quindi
con 
Dunque
(poichè 
).
Ciò esprime il fatto che
l'immagine si forma sempre ad una distanza maggiore di quella focale se l'oggeto è posto più lontano del fuoco. |
Per ottenere delle ulteriori informazioni, conviene riscrivere la (4.9) nella forma:
(4.10) 
che si ottiene sostituendo ad f la sua espressione rispetto ad R: 
. Allora se 
si avrà:
ovvero
l'immagine di un punto che si trova al di là di C apparirà in un punto fra C ed F. |
Se
questo assicura che
un punto oggetto coincide con la sua immagine se viene posto in C. |
Se 
, per la (4.9) l'immagine sarà ad una distanza
maggiore di quella focale; per la (4.10),
ovvero
per un punto posto ad una distanza minore del raggio ma maggiore di quella focale, l'immagine si troverà ad una distanza maggiore del raggio. |
Infine, se il punto oggetto è collocato fra il fuoco e lo specchio,
per cui 
, dalla (4.9) ricaviamo:
In questo ambito il valore negativo della distanza non è assurdo, ma sta semplicemente ad indicare che
l'immagine appare all'osservatore come se fosse dietro lo specchio, cioè è virtuale. |
Le considerazioni ora esposte valgono anche se utilizziamo degli oggetti estesi. In tal caso però è utile anche indagare sull'ingrandimento o la deformazione dell'immagine dell'oggetto, già osservata sperimentalmente.
Nel modello geometrico adottato per descrivere i fenomeni, simuliamo un oggetto con una freccetta. Ci proponiamo di descrivere mediante relazioni matematiche l'allungamento o l'accorciamento che subisce l'immagine fornita dallo specchio sferico. Descriviamo cioè l' ingrandimento lineare dovuto ad uno specchio concavo.
\fig{}
I triangoli ABC e A'B'C risultano simili, per cui si ottiene:
(4.11) 
Poniamo ora
AB=h e A'B'=h'.
Inoltre si osserva che B'C=q-R e CB=R-p, pertanto si ha:
(4.12) 
ma per la (4.5), la (4.12) diventa:
(4.13) 
ovvero per la (4.9):
(4.14) 
La (4.14) esprime il rapporto fra la lunghezza dell'oggetto e della sua immagine.
Come si vede, nota la distanza focale,
il rapporto fra la lunghezza dell'oggetto e della sua immagine dipende solo dalla posizione dell'oggetto nei confronti dello specchio |
Le regole della riflessione valgono ovviamente anche per gli specchi convessi.
Per determinare la traiettoria di un raggio riflesso da uno specchio convesso, occorre tenere presente che la normale alla superficie è la semiretta spiccata nel punto di riflessione e che appartiene alla retta che congiunge il punto stesso con il centro, il quale si trova stavolta dall'altra parte della superficie speculare (fig. (4.1.1)).
\fig{}
Come appare evidente dalla figura (4.1.1) il punto immagine di un qualsiasi punto oggetto posto dinanzi ad uno specchio convesso è sempre virtuale.
Se consideriamo un fascio di raggi paralleli all'asse principale, i corrispondenti raggi riflessi saranno tutti divergenti, ma in modo che i loro prolungamenti si intersecano in un punto virtuale.
Dunque
il fuoco di uno specchio convesso è virtuale; anche tutti gli altri fuochi relativi agli assi secondari sono virtuali; si conclude allora che il piano focale di uno specchio convesso è situato dietro la superficie speculare. |
\fig{}
Se consideriamo un oggetto esteso, la sua immagine si otterrà sfruttando la stessa costruzione geometrica adoperata per gli specchi concavi. Si constata facilmente che qualunque sia il punto dove l'oggetto viene situato, la sua immagine sarà virtuale, diritta e rimpicciolita (fig. (4.1.3)).
\fig{}
Valgono inoltre per i punti coniugati le stesse formule ricavate nel caso degli specchi concavi, con la sola differenza che la distanza focale deve essere considerata stavolta col segno negativo.
Per spiegare fisicamente il fenomeno della riflessione, assumendo la teoria corpuscolare è sufficiente supporre che le particelle che compongono la luce urtino elasticamente la superficie riflettente.
Nell'ambito della teoria ondulatoria occorre ricorrere al principio di Huygens-Fresnel. Ogni singola onda elementare che compone il fronte d'onda viene riflessa secondo la legge sperimentale prima citata. Poichè la velocità è la stessa per tutte le onde, a causa dell'inclinazione che il raggio ha rispetto alla normale, il fronte non verrà riflesso simultaneamente, ma verranno riflesse prima le onde elementari più vicine alla superficie speculare e via via le altre, cosicchè globalmente il fronte d`onde subisce la riflessione rispettando la legge secondo cui l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione (fig. (5.1) - (5.2)).
\fig{}
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