1. Baricentro
  2. Equilibrio di un corpo rigido
  3. Reazione vincolare ed equilibrio del punto vincolato
  4. Equilibrio del corpo rigido
  5. Equilibrio del corpo rigido vincolato
  6. Equilibrio del solido pesante appoggiato
  7. I tre tipi di equilibrio
Lo studio dei vettori applicati ci consente di trattare l' equilibrio del punto materiale e del corpo rigido libero o vincolato. Studieremo infine le condizioni di equilibrio del solido appoggiato.

Baricentro

Un caso particolarmente importante di sistemi di vettori applicati si ha quando tutti i vettori sono paralleli. In questo caso si può definire un punto, il centro del sistema di vettori paralleli.

Se il sistema di vettori è, per esempio, parallelo all'asse delle x si ha: e l'asse dista da x



Se poi si fanno ruotare i vettori di 90deg. sino a renderli paralleli all'asse y si ha (fig. (2.1))



Resta così individuato un punto C di coordinate che viene detto centro del sistema di vettori paralleli. Un esempio particolarmente importante di vettori paralleli è quello riguardante il peso di un corpo. Infatti un punto materiale di massa m, per effetto della forza di gravità esplicata dalla terra, è sottoposto ad una forza, detta forza peso, diretta come la verticale del luogo.


Figura 1.1

Pertanto se si considera un sistema materiale e lo si suddivide in piccole porzioni di massa ognuna di queste porzioni avrà un peso pari a e tutti questi vettori, se il corpo non è molto esteso, costituiscono un sistema di vettori paralleli (fig. (1.2)).


Figura 1.2

Il centro di questo sistema di vettori paralleli si chiama baricentro o centro di gravità del corpo. Per quanto abbiamo detto in precedenza il vettore applicato è equivalente al sistema costituito dai singoli vettori e pertanto può essere sostituito a tutti gli effetti statici e dinamici a tale sistema di vettori.

Abbiamo quindi che il baricentro o centro di gravità è quel punto materiale dotato dell'intera massa del corpo tale da poter sostituire agli effetti statici e dinamici l'intero corpo rigido.

Equilibrio di un corpo rigido

Abbiamo visto che in definitiva ogni sistema di vettori applicati si può sempre rappresentare come un'unica matrice dove sono le componenti del risultante ed il momento risultante del sistema.

La Statica, occupandosi del problema dell'equilibrio dei corpi, deve garantire che il sistema delle forze applicate al corpo di cui vogliamo stabilire l'equilibrio sia tale da essere equivalente a zero.


cioè deve essere il sistema delle forze agenti sul corpo rappresentato dalla matrice nulla; in questo caso deve accadere :

(2.1)

Le (2.1) che stabiliscono quali condizioni devono soddisfare le forze agenti sul corpo perchè esso stia in equilibrio, sono dette equazioni cardinali della Statica.

Lo studio della Statica si riduce quindi nell'applicare le equazioni (2.1) ai casi concreti, deducendo da esse opportune relazioni fra le forze agenti tali da garantire, allorch\'e queste relazioni risultino soddisfatte, l'equilibrio del sistema.

Iniziamo quindi ad applicare le equazioni (2.1) al caso più semplice possibile: quello del punto P soggetto a forze. Se



sono le forze agenti sul punto P, allora scegliendo come punto dei momenti proprio P, si ha che il sistema di forze è equivalente a

è zero perchè tutte le forze passanti per P hanno braccio nullo (fig. (2.1)). Quindi affinchè

sia equivalente a zero deve essere:



cioè:

il risultante delle forze agenti su P deve essere nullo.


E' questa la condizione che deve essere soddisfatta affinchè un punto soggetto a forze stia in equilibrio.


Figura 2.1

Reazione vincolare ed equilibrio del punto vincolato

Sovente, ad un punto materiale non vengono consentiti tutti i possibili movimenti che esso invece potrebbe compiere. Questa impossibilità viene realizzata mediante opportuni meccanismi detti vincoli ed il punto viene detto vincolato. Poichè un vincolo altera la possibilità di movimento del punto è naturale, in base alla nostra definizione di forza, sostituire al vincolo una forza detta reazione vincolare. Se consideriamo adesso un punto vincolato, accanto alle forze agenti sul punto, (che in questo caso vengono dette attive). Bisogna computare anche la reazione vincolare e quindi deve accadere, affinchè il punto sia in equilibrio, che



cioè



ovvero:

il punto sta in equilibrio se il vincolo è capace di esplicare una reazione equilibrante il risultante delle forze attive.

Equilibrio del corpo rigido

Nel caso di un corpo rigido le varie forze agenti sul corpo, come ogni sistema di forze, è rappresentabile da dove sono le componenti del risultante delle forze agenti sul corpo e il momento risultante. è la componente di una forza che tende a far muovere il corpo lungo l'asse delle x, è la componente di una forza che tende a far muovere il corpo lungo l'asse y mentre , momento risultante rispetto a O, è una misura delle capacità delle forze agenti sul corpo perchè ruoti attorno a O. Quindi affinchè il corpo rigido stia in equilibrio devono essere soddisfatte le equazioni



Cioè devono essere soddisfatte le equazioni cardinali della Statica.

Equilibrio del corpo rigido vincolato

Così come il punto, anche i corpi rigidi in generale non sono completamente liberi, perchè, facendo parte di meccanismi più o meno complessi, sono limitati nella possibilità di movimento che possono compiere. In tal caso il corpo rigido si dice vincolato e così anche in questo caso risulta opportuno sostituire il vincolo con una corrispondente forza detta reazione vincolare.

Come nel caso del punto vincolato, anche per il corpo rigido vincolato, le forze che vanno computate per stabilire le condizioni di equilibrio devono comprendere le reazioni vincolari. Deve quindi valere:





Cioè il sistema delle reazioni vincolari deve essere un sistema equilibrante delle forze attive.


rappresentano i momenti delle reazioni vincolari.

Equilibrio del solido pesante appoggiato

Un esempio particolarmente importante di solido vincolato è il corpo rigido pesante, cioè soggetto alla forza peso, appoggiato ad un piano orizzontale. L'appoggio naturalmente può interagire con uno o più punti; così per una sfera appoggiata l'appoggio si realizza in un punto, (fig. (6.1)) mentre, per esempio, per una sedia l'appoggio si realizza tramite quattro punti (fig. (6.2)). In ogni caso resta definita la figura di appoggio che è la figura convessa più piccola tale che i punti d'appoggio risultino interni o sul bordo di essa. L'introduzione della figura d'appoggio consente una semplice caratterizzazione delle condizioni di equilibrio per il solido pesante appoggiato. Infatti, se facciamo l'ipotesi che il piano d'appoggio è liscio, i punti d'appoggio possono esplicare reazioni ortogonali al piano e quindi paralleli fra loro; tali reazioni sono poi riducibili ad una risultante ortogonale al piano e non esterna alla figura di appoggio. Ma, per quanto abbiamo detto relativamente al solido vincolato, tale reazione deve essere equilibrante il peso che pertanto deve avere una retta di azione non esterna alla figura di appoggio. Si può quindi dire che:

un solido pesante appoggiato ad un piano orizzontale liscio è in equilibrio se la proiezione del suo baricentro sul piano di appoggio non cade esternamente alla figura di appoggio.


Figura 6.1


Figura 6.2


I tre tipi di equilibrio

Lo studio dell'equilibrio del solido appoggiato fornisce la possibilità di cogliere intuitivamente le diversità di comportamento nelle posizioni di equilibrio. Così , se per esempio si appoggia ad un piano orizzontale una palla ovale per un vertice, (fig. (7.1)) la posizione è di equilibrio perchè la proiezione di G sul piano di appoggio coincide con il vertice che è in questo caso la figura di appoggio; però allorchè si scosta di poco la palla da questa posizione di equilibrio, essa tende ad occupare una posizione di equilibrio diversa da quella che aveva in principio.


Figura 7.1

Per questo motivo una tale posizione di equilibrio si dice instabile. Se la palla è invece appoggiata di fianco (fig. (7.2)), un piccolo spostamento della palla da questa posizione di equilibrio fa si che una volta lasciata libera essa tende a riprendere la posizione che aveva inizialmente. Una posizione di questo tipo si chiama posizione di equilibrio stabile.


Figura 7.2

Una sfera poggiata ad un piano orizzontale, (fig. (7.3)) invece, quando la si sposta dalla posizione di equilibrio è tale che essa assume ancora una posizione di equilibrio. Tale posizione di equilibrio, viene detta posizione di equilibrio indifferente


Figura 7.3