1. Introduzione
  2. La legge di Pascal
  3. Interazione dei fluidi con recipienti in cui sono contenuti
  4. Pressione del liquido sul fondo del recipiente
  5. Pressione del liquido sulle pareti laterali
  6. Vasi comunicanti
  7. Equilibrio di liquidi non miscibili
  8. Capillarità
  9. Principio di Archimede
Scopo di questa lezione è lo studio dell'Idrostatica. Vengono date le leggi di Pascal e di Stevino, che danno informazioni su come si distribuisce la pressione all'interno di un recipiente contenente un fluido. Vengono allora presi in considerazione il principio dei vasi comunicanti ed il fenomeno della capillarità. Infine, ci occuperemo del Principio di Archimede.

Introduzione

Come già accennato, l'Idrostatica si occupa dei fluidi in quiete. Anche se numerose osservazioni trovano la medesima applicazione, sia che si tratti di liquidi che di gas, è conveniente distinguere comunque quando si adopera un liquido o un gas. In questa lezione ci riferiamo esplicitamente ai liquidi, specificando se le osservazioni sono riferibili anche ai gas; la lezione successiva sarà più specificamente dedicata all'azione dei gas.

La legge di Pascal

Consideriamo un cilindro munito di pistone al quale sia applicato un rubinetto. Se esso viene aperto mentre si esercita una forza sul pistone, si ha la fuoruscita di un getto di liquido; ciò accade indipendentemente dal punto in cui il rubinetto viene posto e dalla superficie di applicazione della forza (fig. (2.1)).

Ciò implica un'importante proprietà dei fluidi (sia liquidi che gassosi):

non esiste alcuna direzione privilegiata lungo la quale agisce la forza applicata, ma essa si trasmette in tutte le direzioni con la stessa intensità, qualunque sia la superficie a contatto con il fluido a cui è applicata.


Questo principio è noto sotto il nome di Legge di Pascal e trova una larga applicazione in tutte le macchine idrauliche o funzionanti a pressione. Basti ricordare il torchio idraulico, il cui principio di funzionamento può essere illustrato nel modo seguente: si consideri un sistema simile a quello rappresentato in figura (2.2).

Quando si esercita una forza sul cilindro A, si determina una pressione . Per il principio di Pascal, questa pressione si trasmette nel cilindro B, per cui occorre bilanciare la forza applicando sullo stantuffo di B una forza , tale che si abbia:



La forza si trasmette nel cilindro B con un valore pari alla forza , e poichè è un numero maggiore di 1, nella parte B la forza assume un valore maggiore di quella originariamente esercitata sul pistone del cilindro A. Più è grande il rapporto fra e e più la forza risulterà amplificata.

Interazione dei fluidi con recipienti in cui sono contenuti

Poichè i fluidi e i liquidi in particolare, hanno peso proprio, senza applicazione di alcuna forza esterna, un liquido contenuto in un recipiente esercita una forza sulle pareti e per il principio di azione e reazione, le pareti stesse ne esercitano una sul liquido. Per quel che riguarda la pressione esercitata sulle pareti del contenitore, occorre distinguere la pressione sul fondo e la pressione sulle pareti laterali.

Pressione del liquido sul fondo del recipiente

Legge di Stevino

Il fondo sopporta interamente il peso del liquido per cui la pressione su di esso esercitata sarà:



Se consideriamo il recipiente di forma cilindrica, il peso del liquido è dato dal peso specifico per il volume. Pertanto si scriverà:



questo implica:



Questa relazione è conosciuta sotto il nome di Legge di Stevino, dalla quale si ricava che

la pressione esercitata sul fondo è direttamente proporzionale al peso specifico del liquido e all'altezza.


Facili verifiche sperimentali consentono di stabilire che questa legge vale qualunque sia la forma del recipiente: ad esempio, presi due recipienti di forma diversa ma con uguale area di base, se riempiti di uno stesso liquido ad uno stesso livello, essi subiscono sul fondo la medesima pressione. Questo risultato apparentemente illogico, prende il nome di paradosso idrostatico.

Pressione del liquido sulle pareti laterali

Dalla legge di Pascal, sappiamo che ogni forza che agisce sul liquido si trasmette in tutte le direzioni. Dunque, ogni superficie a contatto con il fluido sarà sottoposta ad una forza perpendicolare alla parete stessa. In assenza di sollecitazioni esterne, la forza che agisce su una superficie piana parallela al fondo del recipiente è generata dalla quantità di liquido sovrastante la superficie stessa (fig. (5.1)). Dalla legge di Stevino, la pressione esercitata su questa superficie è:



ed è grazie a questa pressione che l'acqua zampilla all'esterno quando si pratica un foro sul recipiente in cui essa è contenuta, poichè tale pressione dipende dall'altezza del liquido sovrastante; allora, tanto maggiore è questa altezza, tanto più lontano zampillerà il liquido, a testimonianza che la forza agente sulle pareti del contenitore cresce all'aumentare della profondità.

Vasi comunicanti

Abbiamo finora esaminato gli effetti che un liquido produce a contatto con le pareti del recipiente nel quale esso è contenuto.

Un'altra importante fenomenologia riguarda la superficie libera del liquido stesso.

Si è già accennato al fatto che le particelle che compongono il liquido hanno la possibilità di scivolare in modo ordinato le une sulle altre.

Ma se la superficie libera del liquido non si trova in posizione perfettamente orizzontale, può accadere che le particelle scivolino su di essa come accade nel caso di una pallina posta su di un piano inclinato; cioè, non si avrebbe una posizione di equilibrio.

Possiamo allora concludere che se sul liquido non agiscono forze esterne, esso si dispone in modo tale che la superficie libera risulti perfettamente orizzontale.

Molti strumenti di misura sfruttano questo principio, valido qualunque sia la forma del recipiente utilizzato, anche se, ad esempio, esso è costituito da diversi tubi di diversa forma, comunicanti fra di loro (fig. (6.1)).

Questo fatto conduce al ben noto principio dei vasi comunicanti

il liquido si dispone in modo tale che le superfici libere di ciascun tubo siano contenute in un piano perfettamente orizzontale.

Ma il principio dei vasi comunicanti può non valere, oltre che per l'azione di forze esterne, anche per i seguenti due motivi:

1. Vengono utilizzati diversi tipi di liquidi non omogenei.

2. La sezione di un tubo è molto piccola, cioè è un tubo capillare.

Studieremo più in dettaglio queste due condizioni.

Equilibrio di liquidi non miscibili

Si consideri un tubo ad U e si immetta in esso, ad esempio, del mercurio (fig. (7.1)). Per il principio dei vasi comunicanti, il mercurio si disporrà in una posizione di equilibrio. Se poi immettiamo una certa quantità di acqua, si noterà un innalzamento della colonna dalla parte libera che però non raggiungerà il livello della colonnina d'acqua. La spiegazione di questo fenomeno risiede nella legge di Stevino: infatti, il tratto contenuto al di sotto della superficie di separazione L, è in equilibrio perchè omogeneo. Affinchè questa posizione di equilibrio non venga alterata, la pressione esercitata dalle due colonnine di liquido deve essere uguale; quindi, applicando la formula di Stevino deve aversi:



Questa relazione ci consente di enunciare la seguente regola empirica:

le altezze delle colonne di due liquidi non miscibili calcolate sopra la superficie di separazione stanno tra loro in rapporto inverso ai rispettivi pesi specifici.

Capillarità

Sperimentalmente si osserva che se in un sistema di vasi comunicanti uno o più tubi hanno dimensioni capillari, in essi il livello del liquido si troverà al di sopra o al di sotto del livello raggiunto in tutti gli altri tubi; questa diversa posizione dipende dal liquido che viene impiegato. Se si tratta di un liquido in grado di aderire alle pareti del tubo, ad esempio acqua, si avrà un innalzamento; se il liquido, invece, non aderisce alle pareti, ad esempio mercurio, allora si noterà un abbassamento.

Operando un'indagine microscopica, si osserva che la superficie del liquido nel tubo nel caso dell'acqua appare concava, mentre nel caso del mercurio appare convessa (fig. (8.1)). In entrambi i casi si dice che la superficie del liquido forma il menisco. Si tratterà di un menisco concavo nel caso dell'acqua e di un menisco convesso nel caso del mercurio.

Principio di Archimede

Un fluido eserciterà una certa forza oltre che sulle pareti del recipiente nel quale è contenuto, anche su un qualsiasi oggetto che vi venga immerso.

Supponiamo infatti di immergere in un liquido, ad esempio acqua, un qualsiasi corpo. Per il fondamentale principio della impenetrabilità dei corpi, esso va ad occupare una porzione di spazio precedentemente occupata dall'acqua, ed infatti si nota un innalzamento del livello. Se togliamo il corpo dall'acqua, esso ritorna nella posizione iniziale; questo vuol dire che il liquido ha una naturale tendenza a rioccupare lo spazio in cui si trovava il corpo immerso, cosa che non può avvenire se il corpo è ancora presente. Dunque, esso esercita una certa forza che impedisce all'acqua di ritornare nella posizione iniziale e, per reazione, anche l'acqua esercita su ogni porzione infinitesima della superficie del corpo, una forza. Queste forze si compongono in modo tale che la risultante agisca nella stessa direzione ed in verso opposto della forza peso, ma con una intensità pari al peso della quantità di liquido che viene spostato immergendo il corpo nell'acqua. Questa osservazione sperimentale è espressa nel Principio di Archimede:

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l'alto uguale al peso del fluido spostato.


Il punto di applicazione di questa spinta, detta spinta di Archimede coincide con il centro di gravità del fluido spostato ed è chiamato centro di spinta, che in generale non coincide con il punto di applicazione della forza peso. La spinta di Archimede è proporzionale sia al volume del corpo immerso, sia al peso specifico del fluido. Inoltre, è grazie alla spinta di Archimede che si determina il fenomeno del galleggiamento.

Su un corpo immerso, infatti, agiscono due forze: una è la forza peso, che agisce nel centro di gravità del corpo, l'altra è la spinta di Archimede, che agisce, come detto, nel centro di spinta. Se quest'ultima forza supera la prima, allora il corpo galleggerà; se le due forze si eguagliano il corpo rimarrà stabile nel fluido e se la forza peso è maggiore della spinta di Archimede, il corpo affonderà. Ciò consente, a priori, di stabilire se un dato materiale è in grado di galleggiare nell'acqua. Basta confrontare i pesi specifici delle sostanze.

I materiali con peso specifico superiore a quello dell'acqua affondano, mentre quelli con peso specifico minore dell'acqua sono in grado di galleggiare.

Ciononostante, vediamo navi costruite in metallo, materiale che ha peso specifico maggiore di quello dell'acqua, che sono perfettamente in grado di galleggiare. Come si spiega questo fenomeno? La risposta risiede nella loro particolare progettazione: esse, infatti, sono costruite in modo tale che la loro sagoma sposti molta più acqua del loro volume. Ciò consente di aumentare la spinta in modo da sostenere il peso della nave (fig. (9.2)).

Un altro importante problema, che bisogna tener presente nella progettazione delle navi, è che centro di gravità e centro di spinta, in genere, non coincidono; per cui, se questi due punti non dovessero trovarsi sulla stessa verticale, si creerebbe una coppia tendente a far ruotare l'imbarcazione (fig. (9.2)).

Questo problema può essere risolto facendo in modo che il centro di gravità venga a trovarsi più in basso del centro di spinta. In tal caso, infatti, un eventuale rollio della nave che sposti il centro di gravità e il centro di spinta dalla medesima verticale, genera una coppia che tende a far ritornare la nave nella posizione di equilibrio.