In questa lezione prenderemo in esame il moto dei fluidi e dimostreremo il teorema di Bernoulli.

I fluidi

Come intuitivamente suggerisce la parola stessa, si intende per fluido una qualsiasi sostanza che sia in grado di fluire; ad esempio l'acqua, l'aria, ed in generale tutti i liquidi e tutti i gas.

Ovviamente le differenze fra liquidi e gas sono notevoli, ciononostante essi godono di una proprietà che li accomuna e ci consente di riunirli in un'unica grande categoria. Non hanno una forma propria ma assumono quella del contenitore in cui sono racchiusi. Ciò è dovuto alla particolare struttura delle forze interne agenti sulle particelle che compongono la sostanza. Nei solidi le varie molecole sono sottoposte a forze di coesione molto forti che le tengono imprigionate a formare il Reticolo Cristallino, offrendo loro scarsissima possibilità di movimento; nei liquidi invece le forze di coesione consentono alle molecole di scivolare ordinatamente le une sulle altre, senza però che possa variare la mutua distanza fra di esse. Nei gas, le forze di coesione sono quasi del tutto assenti. Questa diversa configurazione interna delle sostanze ne determina le differenze morfologiche, cosicchè i fluidi possono assumere una forma qualsiasi che coincide con quella del recipiente in cui sono contenuti, ma il volume complessivo di spazio occupato non può essere nè diminuito e nè aumentato; i gas invece, oltre a non avere una propria forma definita, riempiono tutto lo spazio in cui vengono liberati, cioè hanno la capacità di espandersi, così come possono essere facilmente compressi. La espandibilità e la comprimibilità sono proprietà tipiche dei gas.

Lo studio dei fluidi può essere suddiviso in due branche:

* studio dei fluidi in movimento, che dà luogo alla Fluidodinamica,

* studio dei fluidi in quiete, che costituisce l' Idrostatica.

Anche l'approccio allo studio dei fluidi può partire da diversi presupposti. Si potrebbe pensare ad esempio di studiare il moto di un fluido considerando il moto di ogni singola particella che lo compone; ciò però comporterebbe un numero elevato di relazioni fra le particelle, per cui questo tipo di approccio (detto lagrangiano) risulta abbastanza complicato.

Un altro modo per studiare i fluidi potrebbe prendere in considerazione non la traiettoria o le proprietà cinematiche delle singole particelle, bensì lo stato in cui si trova il fluido ad un dato istante ed in una posizione e dunque conoscere lo stato del fluido significa conoscerne alcune caratteristiche, quali il volume, la temperatura, la pressione, ecc. Questo approccio è detto di tipo euleriano.

In questa sede verranno utilizzati l'uno o l'altro degli approcci a seconda del caso fisico considerato.

Dinamica dei fluidi

Ci occuperemo ora dei fluidi in moto. Occorre premettere alcune considerazioni su che cosa si intenda per fluido in quiete e fluido in moto. Se prendiamo ad esempio un liquido contenuto in un recipiente in quiete, e supponiamo che non agiscano elementi esterni, si avrà l'impressione di una assoluta immobilità del liquido. Se però disperdiamo in esso della polvere finissima si noterà che essa continuerà ad agitarsi anche se la superficie del liquido non appare increspata (fig. (2.1)). Questo indica che non è possibile (poichè irrealizzabile) collegare lo stato di quiete di un liquido con l'immobilità delle particelle di cui è composto.

Stabiliamo allora che:

un fluido è in quiete quando lo è il contenitore in cui si trova e quando il moto delle particelle avviene in maniera del tutto disordinata e casuale,

cosicchè se individuiamo nel liquido una superficie ideale di separazione, il numero delle particelle che l'attraversano in un senso è all'incirca uguale al numero di particelle che la attraversano nell'altro senso (fig. (2.1)). Per i fluidi gassosi valgono le stesse considerazioni, anzi il fenomeno è ancor più accentuato.

Fluido in movimento

Se all'interno del fluido è possibile individuare dei flussi di particelle in moto lungo una certa direzione e nello stesso verso, cioè tali da costituire delle correnti, allora diremo che il fluido non è in quiete.

Noi ci occuperemo di una massa di fluido incomprimibile in cui tutte le particelle si muovono nel tempo nella stessa direzione e con lo stesso verso ed inoltre supponiamo che la velocità di spostamento delle molecole sia la medesima per ciascuna di esse.

Un moto che si svolga nelle condizioni sopra indicate prende il nome di moto permanente.

Principio di conservazione della massa e dell'energia

Teorema di Bernoulli

Consideriamo un fluido in moto permanente; scelta una superficie S posta perpendicolarmente alla corrente, si osserva che:

la quantità di fluido entrante nella superficie in un intervallo di tempo

t è uguale alla quantità di fluido uscente dalla stessa superficie nel medesimo intervallo di tempo

Questo rappresenta il Principio di conservazione della massa riferito ad un fluido.

Consideriamo ora un fluido che scorre in un tubo chiuso. Il tubo ha una sezione longitudinale costante e la sua sezione verticale è variabile (fig. (4.1)).

Per le condizioni in cui si muove il fluido, possiamo supporre che in un intervallo di tempo

t una parte si è spostata in blocco dalla posizione 1 in cui si trovava nella posizione 2. Poichè supponiamo che la quantità del fluido in esame non è variata a causa dello spostamento, allora la quantità indicata con 1 dovrà essere uguale a quella indicata con 2, e siccome il fluido che stiamo considerando è incomprimibile, possiamo identificare la quantità di fluido con il volume da esso occupato; allora dovrà essere soddisfatta la seguente uguaglianza:

(4.1) Volume del tratto 1=Volume del tratto 2 .

Siano:

* la sezione del tubo nel tratto 1,

* la sezione del tubo nel tratto 2,

* la distanza percorsa dal fluido nel tempo t nella parte bassa del tubo,

* la distanza percorsa dal fluido nel tempo t nella parte alta del tubo.

Posto ciò, potremo esprimere l'uguaglianza (4.1) nel modo seguente:

(4.2)

Osservando però che la distanza è data dal prodotto della velocità del fluido per il tempo t , e analogamente per , risulta:

dove con e abbiamo indicato le velocità del fluido. Pertanto, sostituendo in (4.2) otteniamo

da cui ricaviamo

. Per semplicità, abbiamo preso in considerazione una parte ben delimitata di fluido, cioè quella compresa fra i punti a,b, supponendo che essa si sposti fino ad essere compresa fra i punti c,d dopo un tempot.

In effetti non si può trascurare il fatto che lo spostamento del fluido avviene in modo continuo, cioè il tratto da noi preso in esame è preceduto da fluido dello stesso tipo, che si trova al di là del punto a all'inizio dell'osservazione ed al di là del punto c dopo il tempo t , ed è seguito da altro fluido, che si trova dopo il punto b all'inizio dell'osservazione e dopo il punto a dopo il tempo t. Il fluido che segue esercita sul fluido in esame una pressione, che in effetti è la causa dello spostamento da noi osservato; essa è contrastata dalla pressione esercitata dal fluido che precede, poichè quest'ultima agisce in verso opposto (fig. (4.2)).

Le due forze e compiono un Lavoro che può essere espresso come:

L=F * distanza .

Nel nostro caso si avrà:

poichè la forza si ricava da:

e quindi , dove con P abbiamo indicato la pressione. Analogamente

.

Il lavoro complessivo sarà la somma algebrica dei lavori compiuti dalle forze in gioco, e cioè:

.

Poniamo: . Tale relazione è valida in virtù della (4.2). I due termini e rappresentano il volume di fluido che si sposta nel tempo t e quindi si ha:

Poichè dal tratto 1 al tratto 2 assistiamo ad una variazione della velocità del fluido, ciò comporta anche una variazione dell'energia cinetica relativa al fluido la cui espressione è data da:

dove m rappresenta la massa della porzione di fluido in esame.

Nel nostro caso la massa del fluido in esame è ottenuta moltiplicando il volume V per un coefficiente che prende il nome di coefficiente di massa volumetrica o densità di massa:

(4.3)

Pertanto otteniamo la seguente espressione relativa alla variazione di energia cinetica:

Nello spostamento considerato si ha anche una variazione della quota del fluido in esame, e questo come sappiamo, comporta una variazione dell'energia potenziale gravitazionale che si esprime come:

dove h è la differenza di quota. Con questi elementi possiamo applicare al nostro caso il teorema di conservazione dell'energia, secondo il quale il lavoro è uguale alla variazione dell'energia cinetica e dell'energia potenziale; scriveremo quindi:

Tenendo conto della (4.3)

Dividendo ogni membro per V si ottiene:

(4.4)

Possiamo quindi dire che la quantità

è costante. Questo rappresenta il teorema dell'energia applicato ai fluidi e la (4.4) prende il nome di Equazione di Bernoulli in onore del fisico Daniele Bernoulli (1700--1782) che la formulò per la prima volta.