1. La forza come un vettore applicato
  2. Decomposizione di una forza secondo due direzioni assegnate
  3. Momento di una forza
  4. Rappresentazione matriciale di una forza
  5. Coppia
  6. Asse di un sistema di forze
Abbiamo già visto che accanto a grandezze compiutamente determinate da un numero, le così dette grandezze scalari, (la massa, la temperatura, la distanza fra due punti,....) ve ne sono altre che non possono essere completamente determinate da un numero, le così dette grandezze vettoriali (lo spostamento, la forza,....). In questa lezione prenderemo in esame la forza considerata come vettore applicato e svilupperemo il calcolo sui vettori applicati, che risulta essere lo strumento più idoneo per lo studio dell'equilibrio dei corpi, cioè la Statica.

La forza come un vettore applicato

Abbiamo visto che la forza è una grandezza vettoriale; nelle applicazioni questa grandezza, oltre ad essere individuata dalla sua direzione, dal suo modulo e dal suo verso, deve avere un punto di applicazione. è manifesto che una forza che agisce su un punto piuttosto che su un altro, produce effetti diversi; pertanto

una forza è compiutamente assegnata quando se ne assegna il suo modulo, il suo verso, la sua direzione ed il suo punto di applicazione.


cioè la forza è assegnata quando si assegna il vettore applicato che la rappresenta (A, V ) dove A è il punto di applicazione e V è il vettore libero.

Parleremo di vettore applicato intendendo un vettore a cui è assegnato anche un punto di applicazione per distinguerlo dal vettore libero.

Per la forza valgono quindi tutte le regole del calcolo vettoriale qualora si prescinda dal punto di applicazione.

Tipicamente, per le grandezze vettoriali vale la regola del parallelogramma cioè se (A, F ) e (A, G ) sono due forze applicate allo stesso punto A, allora la somma delle due forze dà ancora una forza applicata in A con la regola del parallelogramma: (A, F + G ) (fig. (1.1)).


Figura 1.1

Naturalmente per eseguire la somma di più forze applicate allo stesso punto è sufficiente applicare ripetutamente la regola appena vista.

ESEMPIO: Si considerino le due forze applicate in A di figura (1.2). Si determini il vettore applicato somma delle due.


Figura 1.2


Figura 1.3

Tale vettore si ottiene sommando con la regola del parallelogramma come in figura (1.3).

ESEMPIO: Calcolare l'intensità della risultante R di due forze con intensità rispettivamente di 20 kgf e 15 kgf perpendicolari tra di loro, come in figura (1.4).


Figura 1.4


Decomposizione di una forza secondo due direzioni assegnate

Sovente nella pratica è utile pensare una forza come somma di due o più forze; cioè di scomporre una forza in altre tali che esse la ammettano come somma.

Il problema è di facile soluzione quando sono assegnate le direzioni delle forze così dette componenti che, per adesso, supponiamo nè parallele fra loro nè alla forza (fig. (2.1)).


Figura 2.1

Questa operazione si chiama scomposizione della forza F secondo le due direzioni r e s. Le forze (A, G ) e (A, H ) sono dette le componenti di F secondo la direzione r e la direzione s.

Momento di una forza

Allorchè si vogliono eseguire dei calcoli sulle forze, la rappresentazione grafica come segmenti orientati non è la più pratica per risolvere i problemi, ed è necessario pertanto avere una rappresentazione che consenta di eseguire con facilità tutti i calcoli che sono necessari.

In quel che segue daremo una rappresentazione numerica delle forze, intese come vettori applicati, che assai bene si presta al calcolo. Prima di dare questa rappresentazione facciamo la seguente osservazione: consideriamo la retta che passa per A e che contiene la forza F, retta d'azione (fig. (3.1)).

Si osserva facilmente che se la forza F è applicata ad un corpo indeformabile (rigido), allora l'effetto di F su questo corpo non cambia se la forza stessa la si fa scorrere lungo la sua retta di azione. Cioè una forza agente su un corpo rigido la si può far scorrere lungo la sua retta di azione senza che l'effetto di essa sul corpo rigido venga alterato.


Figura 3.1

Premesso ciò siamo adesso in grado di definire quello che si intende per momento della forza (A,F) rispetto al punto Q:

per momento della forza (A, F) rispetto al punto Q, si intende la grandezza vettoriale la cui intensità è il prodotto della distanza b dal punto Q alla retta d'azione, per il modulo | F | di F .
Il suo verso è positivo o negativo, a seconda che un osservatore che percorre la retta di azione di F come il verso di F , lascia il punto Q alla sua sinistra o alla sua destra.


Figura 3.2

Se il punto Q appartiene alla retta, il momento della forza è nullo essendo nulla la distanza del punto dalla retta di azione.

La distanza b viene detta braccio di F rispetto a Q.


Figura 3.3

Rappresentazione matriciale di una forza

La definizione di momento di una forza rispetto ad un punto permette di dare una rappresentazione del vettore applicato forza (A, F ) tramite una terna di numeri che è atta a determinare compiutamente la forza. Infatti se consideriamo il vettore (A, F) sono individuate le due sue componenti nel piano e se assegniamo anche il momento di esso rispetto ad un punto, resta individuata anche la sua retta di applicazione; cioè il vettore applicato stesso. è naturale quindi rappresentare un vettore applicato con una terna di numeri ove e sono le componenti di F rispetto a Q ed è il momento del vettore rispetto a Q.

La rappresentazione di un vettore applicato si dice rappresentazione matriciale, essendo chiamata matrice di tipo (1,3) una terna ordinata di numeri come



ESEMPIO: Consideriamo il vettore F di componenti (-1,1) di figura (4.1) nel punto A di coordinate (1,0). Trovare la rappresentazione matriciale di F rispetto all'origine degli assi.

Il momento della forza è



Pertanto la rappresentazione matriciale sarà [-1,1,1].


Figura 4.1

Coppia

Un sistema particolarmente importante è la coppia, costituita da due soli vettori applicati (A, F ) e (B,-F) direttamente opposti (cioè che hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e verso opposto) (fig. (5.1)).

Per un sistema siffatto la composizione matriciale dei due vettori fornisce:



essendo (fig. (5.2))



col segno + o - secondo che un osservatore che percorre uno dei vettori lascia il punto di applicazione dell'altro alla sua sinistra o alla sua destra.


Figura 5.1

La distanza d fra le rette di applicazione dei due vettori opposti si chiama braccio della coppia, mentre si chiama il momento della coppia.

In definitiva una coppia è rappresentata matricialmente da [0,0,M] dove M è il momento della coppia


La coppia di braccio nullo è costituita da vettori direttamente opposti (A,F), (A,-F) ed è rappresentata da [0,0,0] in conformità del fatto che una coppia siffatta agendo su un sistema rigido non ne altera lo stato.

La rappresentazione matriciale della forza ci consente, come era nel nostro programma di comporre, o scomporre, le forze. Infatti siffatte operazioni potranno eseguirsi non sulle rappresentazioni geometriche delle forze, bensì sui numeri che rappresentano le forze.

Se (A,F) è un vettore rappresentato matricialmente da

e (B, G ) è rappresentato da la loro composizione è il vettore applicato (G, H ) rappresentato dalla matrice



Se (A,F) è rappresentato da , allora il vettore opposto è rappresentato da e viene detto l' equilibrante di (A,F).

Così pure se



allora si dice scomposto nei vettori



e



Si osservi che le operazioni di composizione e scomposizione dei vettori applicati espresse tramite le loro rappresentazioni matriciali si eseguono solo nel caso in cui siano ricondotte allo stesso punto Q.


Figura 5.2

Asse di un sistema di forze

L'uso della notazione matriciale ci consente di determinare agevolmente, a partire da un sistema qualunque di vettori, un vettore equivalente ai vettori dati ovvero di ottenere una coppia equivalente.

Sia ect.... un sistema di vettori applicati, la loro composizione fornisce il vettore [C,H] rappresentato dalla matrice . La retta di azione si individua facilmente tenendo conto che da un lato deve essere



cioè la retta di azione di H deve distare da Q:



presa con l'avvertenza di rispettare la convenzione dei segni. La retta di azione di H così determinata si chiama asse del sistema di vettori applicati (A,F)(B,G), etc...

Se il sistema è del tipo allora esso è equivalente ad una coppia di momento . Se, in più, risulta anche

allora il sistema si dice in equilibrio e la sua rappresentazione è la matrice nulla [0,0,0].

Ricapitolando:

ogni sistema di vettori è rappresentabile da una matrice . Se tale matrice è tale che , allora il sistema è riducibile ad H applicato all'asse del sistema

Se F =0 e allora il sitema è rappresentabile da una coppia; se anche , allora il sistema rappresentato dalla matrice nulla [0,0,0] e si dice in equilibrio