1. Ascissa curvilinea
  2. Velocità ed accelerazione scalare
Finora abbiamo studiato i moti per particolari valori del vettore velocità. E' interessante vedere ora i moti che avvengono su una traiettoria assegnata, per i quali introdurremo i concetti di ascissa curvilinea, velocità ed accelerazione scalare. Le costruzioni fondamentali ci consentiranno di costruire la legge del moto.

Ascissa curvilinea

Supponiamo che un punto materiale P si muova su una traiettoria assegnata (fig. (1.1)).

Fissiamo su un punto che chiamiamo origine delle ascisse curvilinee.

Misuriamo su la distanza s lungo la curva tra il punto mobile P ed il punto fisso . Allora il vettore posizione potrà essere espresso in funzione di s.

Simbolicamente

(1.1) OP=OP(s)

Il parametro s sarà noto come ascissa curvilinea.

Dalla (1.1) si deduce che conosciamo il vettore posizione OP e quindi il moto, se conosciamo la distanza s dall'origine.


Figura 1.1

Siccome s dipende dal tempo:


la conoscenza del moto si riduce, in questo caso, a conoscere come varia s in funzione del tempo


cioè la funzione:

(1.2) s=s(t)

La (1.2) è nota come legge oraria. Il diagramma di figura (1.2) si chiama diagramma orario.


Figura 1.2

Vediamo alcuni esempi di diagrammi orari:

ESEMPIO

s=3+2 t


Figura 1.3

ESEMPIO



Figura 1.4

ESEMPIO

s=sin t


Figura 1.5

Velocità ed accelerazione scalare

Supponiamo di conoscere la legge oraria di un punto. Poichè i moti che avvengono su traiettorie diverse, ma che hanno la stessa legge oraria, in questo contesto vengono identificati, precinderemo dalla traiettoria. Se fissiamo due istanti di tempo , si chiamerà velocità scalare media relativa all'intervallo il rapporto:

(2.1)

Analoghe espressioni possono essere introdotte per l'accelerazione. L'espressione

ci dà l' accelerazione scalare media nell'intervallo considerato



Quindi:


a partire da una legge oraria assegnata abbiamo una velocità scalare ed un'accelerazione scalare.


Come nel caso generale, può porsi il problema di trovare la legge oraria note le velocità o le accelerazioni.


Si può ricostruire la legge oraria conoscendo la distanza iniziale dall'origine delle ascisse curvilinee e la velocità scalare media in ogni intervallo di tempo.


Infatti:



La velocità si trova tramite la seconda costruzione:


La velocità scalare media si può ricostruire quando è nota nell'intervallo iniziale ed è nota l'accelerazione media in ogni intervallo di tempo.


Infatti:



Può essere introdotta la costruzione fondamentale:


La legge oraria di un corpo che si muove su una traiettoria assegnata è nota quando è nota la distanza iniziale, la velocità scalare iniziale e l'accelerazione in ogni intervallo di tempo.


ESEMPIO: Supponiamo che la velocità scalare V sia costante. Il moto si dirà allora moto uniforme. In questo caso la legge oraria è del tipo:



ed il diagramma orario sarà:


Figura 2.1


ESEMPIO: Supponiamo che l'accelerazione scalare a sia costante. In questo caso il moto si dirà moto uniformemente vario. La legge oraria è del tipo:



dove è la velocità iniziale istantanea. In questo caso il diagramma orario sarà:



Figura 2.2



Figura 2.3



I valori del tempo, per i quali la velocità è uguale a zero, si chiamano istanti di arresto.

Il moto si dice progressivo all'istante t se il valore assoluto di s è crescente e retrogrado se il valore assoluto di s è decrescente.

Il moto si dice accelerato all'istante t, se il modulo della velocità è crescente; ritardato all'istante t, se il modulo della velocità è decrescente.

ESEMPIO: Ad esempio, nel diagramma di figura (2.1):

* non ci sono istanti di arresto,

* il moto è sempre progressivo (V maggiore di zero).

ESEMPIO:

Nel diagramma di figura (2.2):

* l'istante di arresto è t=0.

* Per valori negativi del tempo il moto è retrogrado.

* Per valori positivi del tempo il moto è progressivo.

* Per valori negativi del tempo il moto è ritardato.

* Per valori positivi del tempo il moto è accelerato.

ESEMPIO:

Nel diagramma di figura (2.3):

gli istanti di arresto sono t=0, , 2 ect.

Per valutare le altre caratteristiche del moto, tracciamo il diagramma delle velocità in funzione del tempo (fig. (2.4)).

Per t compreso tra 0 e /2 il moto è progressivo.

è retrogrado per t compreso tra /2 e .

è progressivo per t compreso tra e 3/2.

è retrogrado per t compreso tra 3 /2 e 2 .

è ritardato per t compreso tra 0 e /2.

è accellerato per t compreso tra /2 e .

è ritardato per t compreso tra e 3/2 .

è accelerato per t compreso tra 3/2 e 2 .


Figura 2.4