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Supponiamo di avere un corpo posto in un altro cubetto, che indicheremo
con P. La linea che unisce O con P sarà detta vettore posizione
OP e rappresenterà la posizione del corpo P rispetto all'osservatore
O (fig. (1.2)).
Ovviamente, questa linea non sarà unica a meno di non supporre,
come sarà nel nostro caso, che le dimensioni delle celle siano così
piccole da contenere un solo punto.
Nella figura (1.2) si osserva come il vettore posizione OP possa essere
univocamente individuato da una terna orientata di numeri, rappresentanti
la profondità, la larghezza e l'altezza del parallelepipedo con estremi
in O e P.
La sequenza di cellette di figura (1.3) si chiama asse X o asse
delle ascisse.
Le celle su quest'asse saranno rappresentate da terne di numeri del tipo
(x,0,0) dove x è il valore della distanza della cella dall'osservatore
presa col segno positivo o negativo se la cella è nella direzione
della freccia oppure no.
Un'altra importante sequenza di celle è mostrata in figura (1.4)
ed è detta asse Y o asse delle ordinate. Le celle questa
volta saranno individuate da terne del tipo (0,y,0).
Un'altra importante sequenza di celle è visualizzata in figura
(1.5). Quest'asse è noto come asse Z. Le sue celle saranno
individuate da terne del tipo (0,0,z).
Allora (fig. (1.6)):
Se il lato delle singole celle si fa tendere a zero, le stesse si riducono
a punti. Le considerazioni precedentemente fatte continuano a valere, e,
pertanto, il vettore posizione può essere individuato da questa terna
di numeri. Gli assi x,,y e z si ridurranno a tre rette orientate e l'insieme
costituito da O (punto dell'osservatore) e dai tre assi x,y,,z si dirà
sistema di coordinate con origine in O (fig. (1.7)).
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ESEMPIO: Si consideri il vettore PQ nel piano di figura (1.9). Dire quali
sono le componenti cartesiane del vettore.
Consideriamo il vettore W equipollente a V con origine in
O (fig. (1.10)). Dalla figura si vede che le componenti cartesiane sono
1 e 2 e pertanto si scriverà (1,2).
Un altro modo di pervenire allo stesso risultato è di considerare
la differenza tra le coordinate dell'estremo e dell'origine del vettore.
Le coordinate del punto P saranno le componenti del vettore OP (fig. (1.11))
cioè (3,2); mentre quelle del punto Q saranno le componenti del vettore
OQ cioè (4,4). Pertanto, le componenti di PQ saranno (4-3, 4-2)=(1,2).
ESEMPIO: Consideriamo il vettore di figura (1.12) nello spazio. Dire quali
sono le componenti cartesiane del vettore.
Dalla figura si vede che il vettore ha componente lungo l'asse x uguale
a 2, lungo l'asse y uguale a 3, lungo l'asse z uguale a 1. Pertanto, si
scriverà (2,3,1).
ESEMPIO: Considerato il vettore di figura (1.13) nello spazio, dire quali
sono le componenti cartesiane del vettore.
Dalla figura si vede che le componenti cartesiane sono 3,2 e 3 rispettivamente
e pertanto si indicherà con (3,2,3).
possono essere definite delle operazioni. La prima è
l' operazione somma ed opera nel seguente modo: dati due vettori
OP di componenti cartesiane (x,y,z) e PQ di componenti cartesiane (x,y,z)
il vettore somma OQ di OP e PQ avrà componenti cartesiane (x+x,
y+y, z+z) (fig. (2.1)). 
Simbolicamente la somma si indicherà con OQ=OP+PQ oppure
(x,y,z)+(x, y, z )=(x+x, y+y, z+z)
associa un terzo vettore di 
. 
ESEMPIO: Sommare i vettori V e W di figura (2.3).
Il vettore V ha componenti (2,3) e W ha componenti (3,1) e
pertanto il vettore V + W avrà componenti (5,4).
ESEMPIO: Sommare i vettori V e W di figura (2.4).
Il vettore V ha componenti (1,5,2) e W ha componenti (2,3,1)
e pertanto il vettore V + W avrà componenti (3,8,3).
ESEMPIO: Sommare i vettori V e W di figura (2.5).
Il vettore V ha componenti (2,3,0) e W ha componenti (3,2,1)
e pertanto il vettore V + W avrà componenti (5,5,1).
La seconda operazione è nota come operazione moltiplicazione di
un vettore per un numero e si definisce nel modo seguente: dato un vettore
V di componenti cartesiane (x,y,z) ed un numero a, la moltiplicazione
a (x,y,z) è il vettore a V di 
definito dalla
terna (ax, ay, az) (fig. (2.6)).
Tale operazione è esterna, nel senso che considerati un
elemento di 
ed un numero, a tale coppia viene associato un nuovo
elemento di 
. In altre parole non è un'operazione interna
che coinvolge solo elementi di 
.
ESEMPIO: Si consideri il vettore V di figura (2.7). Trovare il vettore
2V.
Il vettore V ha componenti (3,1). Pertanto, il vettore 2V
avrà componenti (2*3, 2* 1)=(6,2) (fig. (2.8)).
ESEMPIO Si consideri il vettore V di figura (2.9). Trovare il
vettore 3 V.
Il vettore V ha componenti (1,2), pertanto il vettore 3 V
avrà componenti (3,6).
ESEMPIO: Si consideri il vettore V di componenti (1,3,5).Trovare
il vettore -2V.
Il vettore -2 V avrà componenti (-2,-6,-10).
Dato un vettore V di componenti 
, il suo modulo sarà
questo discende immediatamente dal Teorema di Pitagora.
ESEMPIO: Dato il vettore di componenti (1,2,2), trovare il modulo.
Il modulo di tale vettore sarà:
